円の接線に関する問題は、難易度によって「円周上の点が分かっている場合」と「円外の点を通る場合」の2段階に分かれます。
まず、円周上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、公式をそのまま適用します。
【円周上の点における接線の公式】
円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線：
$x_1 x + y_1 y = r^2$
※中心が $(a, b)$ に平行移動している場合は、$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$ となります。
受験生の間で正答率に大きな差がつくのが、「円外の点から引いた接線」を求める応用問題です。この場合は以下の2つのアプローチが存在します。
1. 接点 $(x_1, y_1)$ を仮定する解法： 接線の方程式 $x_1 x + y_1 y = r^2$ を立て、その直線が通過する円外の点の座標を代入。さらに接点が円周上にある条件 $x_1^2 + y_1^2 = r^2$ と連立させて接点の座標を特定する。
2. 直線の傾きを $m$ と置く解法： 通る点を使って直線の方程式を作り、中心と直線の距離 $d$ が半径 $r$ と等しくなる条件（$d = r$）から $m$ を求める。
円外からの接線は必ず2本存在します。傾きを $m$ と置く解法では「$y$ 軸に平行な接線（傾きが存在しない直線）」を見落としやすいため、接点を $(x_1, y_1)$ と置いて解き進めるルートが最も安全でおすすめです。
