高校数学の教科書を開くと、三角形の成立条件として次の2通りの公式が提示されます。高校数学Iの授業で多くの生徒が戸惑うのが、1つ目の式に含まれる絶対値記号の存在です。
【公式表現1：絶対値を用いた表記】
3辺の長さを $a, b, c$ とするとき、
$|b - c| < a < b + c$
【公式表現2：3つの連立不等式】
$a + b > c$ かつ $b + c > a$ かつ $c + a > b$
なぜ唐突に絶対値が登場するのかといえば、線分の引き算において「どちらの辺が長いか」が事前に定まっていないからです。仮に $b=4, c=7$ の場合、$b - c = -3$ となり、辺の長さである正の数 $a$ が負の数より大きいのは当たり前になってしまい、下限のチェックとして機能しなくなります。引き算の結果を純粋な「2辺の長さの差」という正の距離量として扱うために、絶対値記号が不可欠となります。
数学的には、この2つの公式は完全に同値です。不等式 $|b - c| < a$ は、「$-a < b - c < a$」と言い換えることができます。これを2つに分解して移項すれば、$c < a + b$ かつ $b < a + c$ が導かれ、右側の不等式 $a < b + c$ と合わせることで、見事に【公式表現2】の3つの不等式がすべて揃います。教科書が絶対値の公式を掲載している背景には、3つの不等式を連立させる手間を省き、1つの簡潔な鎖状の不等式にまとめ上げるという数式美の観点があります。
