東京にいるはずなのに別地域の天気が表示されるなど、現在地情報の食い違いは位置情報権限の付与レベルに起因しています。
Androidのプライバシー設定では、位置情報の利用を「アプリの使用中のみ許可」にしていると、ウィジェットが裏で動く際に正確な現在地を取得できなくなります。ウィジェットを現在地連動で使いたい場合は、アプリの位置情報権限を「常に許可」に設定し、さらに「正確な位置情報の使用」をオンに切り替えてください。
GPSの精度が不安定な屋内や地下街に長時間いると、近隣のWi-Fiアクセスポイント情報をもとに誤った地域が判定されることもあります。移動頻度が少ない自宅や職場メインで確認したい場合は、現在地自動取得に頼らず、アプリ内の設定から「市区町村を手動登録」してウィジェットに固定表示させる運用のほうが安定します。
