「公式の形は覚えたけれど、そもそもなぜ分母に $3$ が現れるのか？」という疑問を持つことは、数学的な理解を深める上で非常に有益です。中学校の授業では実験（球の容器に水を入れて円柱に移すなど）で直感的に教えられますが、高校数学の積分を用いることで厳密な半球体積の証明が可能になります。
直交座標平面において、原点を中心とする半径 $r$ の円の方程式は $x^2 + y^2 = r^2$（すなわち $y^2 = r^2 - x^2$）で表されます。この半円部分を $x$ 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を、高校数学積分体積の手法で求めます。
スライスした微小な円盤の断面積は $\pi y^2 = \pi (r^2 - x^2)$ となり、これを $x = 0$ から $x = r$ まで積分すると半球の体積が得られます。
$$V_{\text{半球}} = \int_{0}^{r} \pi y^2 \, dx = \pi \int_{0}^{r} (r^2 - x^2) \, dx$$
定積分を計算します。
$$V_{\text{半球}} = \pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{r} = \pi \left( r^3 - \frac{r^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3$$
この半球の体積を2倍にすることで、球全体の体積公式 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ が完全に導かれます。積分計算における「$x^2$ を積分すると $\frac{x^3}{3}$ になる」という微積分の基本原理こそが、公式に「3分の」という分数が現れる数学的根拠です。
